集合論

高校までの集合論は既知としたいが, いくつか復習をしておこう.

$A \subset B \iff \forall x \in A, x \in B$.
$f \colon A \to A ; a \mapsto a$ を恒等写像といい, $\operatorname{id}_A$, $\bm{1}_A$ などと書く.
写像 $f \colon A \to B$ に対し, ある写像 $g \colon B \to A$ が存在して, $g \circ f = \operatorname{id}_A$ となるとき, $g$ を $f$ の逆写像といい, $f^{-1}$ で表す.

数学での「像」は文脈依存な術語であり, 逆像も一度キチッと押さえておかないと逆写像の記号との混同に不注意なままモヤモヤして数学書を読むことになる. 以下, $f \colon X \to Y$ をとって考える.

元の像：$x \in X$ ならば, $f(x)$ を「元 $x$ の写像 $f$ による像」という.
部分集合の像：$f(A)=\lbrace f(x)\in Y\mid x\in A\rbrace $ を「部分集合 $A \subset X$ の $f$ による像」という.
写像の像：写像 $f$ の始域 $X$ 全体に関する部分集合としての像 $f(X)$ を単に写像 $f$ の像と呼び, $\operatorname{Im}f$ などで表す.

次に, 部分集合 $B \subset Y$ の $f$ による原像 (逆像) とは $f^{-1}(B)=\lbrace x\in X\mid f(x)\in B\rbrace $ である. 進んだ数学になると「$f$ による引き戻し (pull-back)」という言い回しをすることもあるが, その意味が実感されるのはまだまだ先であろう……

ちなみに, 次のような記法も提唱されている.

$f_{\star}=f^{\to} \colon {\mathcal{P}}(X) \to {\mathcal{P}}(Y) ; A \mapsto f^{\to}(A) = \lbrace f(a) \mid a \in A\rbrace $.
$f^{\star}=f^{\gets}\colon {\mathcal{P}}(Y) \to {\mathcal{P}}(X) ; B \mapsto f^{\gets}(B) = \lbrace a \in X \mid f(a) \in B\rbrace $

こんな記法は絶対流行らないだろうなぁと思っていたらこの前見かけた¹.

これはおそらく藤田博司『「集合と位相」をなぜ学ぶのか：数学の基礎として根づくまでの歴史』（技術評論社、2018 年）のことだったはずである。 ↩︎

集合論のウォーミングアップとして次の命題とその証明を読んでみよう.

命題 1.1: 射影公式

写像 $f \colon X \to Y$ と $A \subset X$, $B \subset Y$ に対し, $$f(A) \cap B = f(A \cap f^{-1}(B)).$$

これはどちらも部分集合の像としての記法であるから, これは値が一致するとかいうことではなく, 集合として等しいことを示さなければならない. $A = B \iff A \subset B \land B \subset A$ なので……

証明．

($\subset$) $\forall x \in f(A) \cap B \iff x \in f(A) \land x \in B \iff f^{-1}(x) \in A \land f^{-1}(x) \in f^{-1}(B) \iff f^{-1}(x) \in A \cap f^{-1}(B)$ なので, $x=f(f^{-1}(x))\in f(A \cap f^{-1}(B))$.

($\supset$) $\forall x \in f(A \cap f^{-1}(B))$, $f^{-1}(x) \in A \cap f^{-1}(B) \iff f^{-1}(x) \in A \land f^{-1}(x) \in f^{-1}(B) \iff x \in f(A) \land x \in B \iff x \in f(A) \cap B$.

位相空間論

たとえば「$A \subset B$ はコンパクトである」と書いたとき, これは「$A$ は $B$ の部分集合である」と「$A$ はコンパクトである」とを合わせた略記法であり, 主語はあくまでも $A$ である.

定義 2.1: 開集合系・位相空間

集合 $X$ において, 部分集合の族 $\mathcal{O}$ が定まり, $\mathcal{O}$ の任意の元が「有限個の積・無限個の和について閉じている」とする. このとき, $X$ を台集合, $\mathcal{O}$ を開集合系, $\mathcal{O}$ の元を開集合, 組 $(X,\mathcal{O})$ を位相空間という. また, $x \in X$ を含む開集合を開近傍といい, この開近傍を含む $X$ の部分集合を $x$ の近傍という.

$\varnothing, X \in \mathcal{O}$ を定義に入れる流儀もあるが, 「0 個の和集合」で $\varnothing$ が入り, 「空集合の共通集合」で $X$ が入るので定義には不要である.

開集合系が文脈上明らかだったり議論の上では不要だったりする場合は単に台集合を以って位相空間と呼ぶ.

たとえば有限集合 $\lbrace a\rbrace $, $\lbrace a, b\rbrace $, $\lbrace a, b, c\rbrace $ に開集合系を定めてみよう.

ちなみに, わざわざ開集合系を定めるなどと言わずに, もっと概念的に「位相を入れる・定める」などと言うことが多い.

まず必ず空集合と全体集合を含むことを確認しておこう. その上で二つの条件を満たすように取っていけばよい.

一元集合では $\lbrace \varnothing,\lbrace a\rbrace \rbrace $. 二元集合では $\lbrace \varnothing,\lbrace a,b\rbrace \rbrace $, $\lbrace \varnothing,\lbrace a\rbrace ,\lbrace a,b\rbrace \rbrace $, $\lbrace \varnothing,\lbrace b\rbrace ,\lbrace a,b\rbrace \rbrace $, $\lbrace \varnothing,\lbrace a\rbrace ,\lbrace b\rbrace ,\lbrace a,b\rbrace \rbrace $. 三元集合は面倒なので書かないが29個. ちなみにどう増えていくかというと, 1, 4, 9, 29, 355, 6942, 209527, 9535241, 642779354, … といった具合だ.

定義 2.2: 閉集合・内部・閉包・境界

$A \subset X$ とする.

$A$ が閉集合であるとは, $X \setminus A \in \mathcal{O}$ を満たすこと.
$A$ の内部とは, $A$ に含まれる開集合全体の和集合のことをいい, $A^{\circ}$ または $\operatorname{Int}A$ と表す. $A^{\circ}$ に含まれる点を $A$ の内点とよぶ.
$A$ の閉包とは, $A$ を含む閉集合全体の共通部分のことをいい, $\overline{A}$ または $\operatorname{Cl}A$と表す.
$A$ の境界とは $\partial A = \bar{A} - A^{\circ}$ である.

素数の無限性

素数が無限個存在することは良く知られているが, 1955 年に Hillel Furstenberg が学部生のときに提出した位相空間論を用いた証明は教育的でありながら興味深い. まさにエラトステネスの篩をイメージしたような証明方法になっている.

定義 2.3: 開基

位相空間 $X$ の開集合からなる集合 $\mathcal{B}$ が開基であるとは, $X$ の任意の開集合が $\mathcal{B}$ の元の合併で書けることをいう.

任意の $a\in\mathbf{Z}\setminus\lbrace 0\rbrace$, $b\in\mathbf{Z}$ に対する $a\mathbf{Z}+b$ が開基となるような位相を $\mathbf{Z}$ に入れる.

補題 2.4

$a\mathbf{Z}+b$ は閉集合でもある.

証明．$\displaystyle a\mathbf{Z}+b=\mathbf{Z}\setminus\left(\bigcup ^ {a-1} _ {i=1} a\mathbf{Z}+b+i\right)$.

定理 2.5

素数は無限個存在する.

証明．$$\mathbf{Z}\setminus\lbrace\pm1\rbrace=\bigcup_{p\colon\text{素数}} p\mathbf{Z}$$ 左辺は有限集合 $\lbrace\pm1\rbrace$ の補集合であるから（空集合でない有限集合はこの位相では開集合でないので）閉集合ではない. 一方で右辺は閉集合の合併である. 閉集合の合併集合が閉集合でない状況は無限個の合併をとっている場合にしか起き得ない.

代数学の基本定理

代数学の基本定理を厳密に述べると「定数でない複素係数多項式は少なくとも一つの複素数根をもつ」となる. 言い換えると「複素数体は代数閉体である」ということだ.

まずいくつかの基礎的な事項を確認しておこう. 複素数の定義は厳密には難しいのだが, たとえば高校では $i^2 = -1$ なる “数” を想定して, 実数 $a$, $b$ で $a+bi$ となるような数を複素数としている. ところが当然ながら $i^2=-1$ などという実数は存在しない. たとえば「多項式の集合 $\mathbf{R}[X]$ の元をすべて $X^2+1$ で割った余りとみなす」というのがよくある方法だ. そうするとすべて $aX+b$ 型の数になり,「余りだけを考える」というのは, $X^2+1=0$ とみなしているようなものなのだから, 実質的に $X$ は $i$ なのである.

次に, 方程式を調べる上で非常に有用な因数定理を紹介しよう.

定理 2.6: 剰余の定理

多項式 $f(x)$ を $x-a$ で割った余りは $f(a)$ である.

証明．商を $Q(x)$, 余りを (1次式で割るので定数だから) $R$ とおくと, $f(x)=(x-a)Q(x)+R$ である. $x$ に $a$ を代入して $R=f(a)$ を得る.

定理 2.7: 因数定理

多項式 $f(x)$ が $x-a$ を因数にもつことは, $f(a)=0$ と同値である.

証明．剰余の定理より従う.

これを用いることで, 難しい議論をせずとも次の事実は示される.

命題 2.8

$n$ 次方程式の解は高々 $n$ 個.

証明．$n$ 次方程式が $n$ 個より多い解をもつとき, そのうち $n+1$ 個の解 $a_1, \dots, a_{n+1}$ をとってくると, 因数定理から $(x-a_1)\cdots(x-a_{n+1})$ を因数にもつので $n+1$ 次の項が現れ, これは矛盾.

一方, 代数学の基本定理「定数でない複素係数多項式は少なくとも一つの複素数根をもつ」が示されれば, 因数定理を逐次用いることで (重複度含め) $n$ 個ピッタリの解をもつことが分かる. この事実を以って代数学の基本定理と呼ぶこともあるが, これはむしろその系と呼ぶべきである.

次の問題は代数学の基本定理を使うことでエレガントに解ける問題として有名だが, 別にこれは命題 2.7 から従うので必要ない.

$\displaystyle a+\frac{1}{a}=b+\frac{1}{b}=c+\frac{1}{c}$ が成り立つならば $a$, $b$, $c$ のうち少なくとも2つは一致する.

証明．$\displaystyle a+\frac{1}{a}=b+\frac{1}{b}=c+\frac{1}{c}=k$ とおくと, $a$, $b$, $c$ は方程式 $x^2-kx+1=0$ の解であり, 解は高々2個. したがって $a$, $b$, $c$ のうち少なくとも2つは一致する.

距離空間

まず複素数に位相を入れることを考えよう. そのために距離空間について説明をする必要がある.

定義 2.9: 距離空間

$X$ を集合とする. $d \colon X \times X \to [0,\infty)$ が以下の条件を満たすとき, $X$ 上の距離といい, 組 $(X,d)$ を距離空間という.

$d(x,y)=0 \iff x=y$.
$d(x,y)=d(y,x)$.
$d(x,z)\leqq d(x,y)+d(y,z)$. (三角不等式)

定義 2.10: 開球

距離空間 $(X,d)$ において, $x \in X$, $r > 0$ に対し, $B(x,r)=\lbrace y \in X \mid d(x,y)<r \rbrace $ を, 中心 $x$, 半径 $r$ の開球という.

距離空間 $(X,d)$ に対し, $X$ の部分集合の族 $\mathcal{O} _ {距離}$ を, $\forall a \in O, \exists r > 0, B(a,r) \subset O$を満たす $X$ の空でない部分集合 $O$ の全体と, 空集合 $\varnothing$ からなるとする. このとき $\mathcal{O}_{距離}$ は開集合系となっており, 距離位相などと呼ぶ.

$\mathbf{R}$ と $\mathbf{C}$ を距離空間として扱ってみよう.

定義 2.11: 絶対値

$x \in \mathbf{R}$ に対し $\lvert x\rvert=\max\lbrace x,-x\rbrace $, $y = a+bi \in \mathbf{C}$ に対し $\lvert y\rvert = \sqrt{a^2+b^2}$ とし, どちらも絶対値という.

もちろん $\mathbf{R} \subset \mathbf{C}$ であり, それに応じて複素数の絶対値が実数の絶対値の定義を内包していることが大事である. このようなプロセスを「定義を拡張する」という.

それでは, 絶対値を用いてノルムを定義する. これは「拡張」というよりむしろ「一般化」というのが適切なフィーリングである.

定義 2.12: ノルム

$\bm{x} = (x_1,\dots,x_n) \in \mathbf{R}^n$, $1 \leqq p < \infty$ に対し, $\lVert\bm{x}\rVert_p = \sqrt[p]{\lvert x_1\rvert^p+\cdots+\lvert x_n\rvert^p}$ を $p$ ノルムという. 特に $1$ ノルムを Manhattan 距離, $2$ ノルムを Euclid ノルム, $\infty$ ノルムを Chebyshev 距離という.

$n = 1$ のときノルムは絶対値と一致する.

Euclid ノルムは $\mathbf{R}^n$ 上の距離となる. 一方, $\mathbf{C}^n$ は $\mathbf{R}^{2n}$ とみなすことで同様に Euclid ノルムを入れることができる. 上の注と合わせて「複素数の絶対値とは, 実部と虚部のベクトルのノルムとみなしたもの」といえる.

定義 2.13: 有界

距離空間 $(X,d)$ の部分集合 $S$ が有界であるとは, $\exists x \in X, \exists r > 0, \forall s \in S, d(x,s) < r$ となること.

定理 2.14: Archimedes の原理

$\forall a, b > 0, \exists n \in \mathbf{N}, na > b$.

実数の定義を厳密にしていないため証明はできない.

命題 2.15

$\mathbb{R}$ は非有界.

証明．Archimedes の原理より従う.

定義 2.16: 開被覆

$X$ を位相空間, $Y$ を部分集合とする.

$Y$ の $X$ における開被覆とは, $X$ の開集合の族 $\lbrace U_{\lambda}\rbrace _ {\lambda\in\Lambda}$ で, $Y \subset \cup_{\lambda\in\Lambda} U_{\lambda}$ を満たすものである.
$\lbrace U_{\lambda}\rbrace _ {\lambda\in\Lambda}$ を $Y$ の開被覆とする. $\Lambda$ の部分集合 $\Lambda_0$ に対して $\lbrace U_{\lambda}\rbrace _ {\lambda\in\Lambda_0}$ が $Y$ の開被覆となっているとき, これを部分被覆という. 特に $\Lambda_0$ が有限集合のときは有限部分被覆という.

定義 2.17: コンパクト

$Y$ がコンパクトであるとは, $Y$ の任意の開被覆が有限部分被覆をもつことをいう.

コンパクト性は一見掴みづらい概念であるから, 初等的な命題にも証明を与えることにする.

定理 2.18

有限集合はコンパクト.

証明．有限集合 $X=\lbrace x_1,\dots,x_n\rbrace $ の任意の開被覆 $\lbrace U_{\lambda}\rbrace _ {\lambda\in\Lambda}$ に対し $x_i\in U_{\lambda_i}$ なる $U_{\lambda_i}$ をとると, $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n} U_{\lambda_i}$ は $\lbrace U_{\lambda}\rbrace _ {\lambda\in\Lambda}$ の有限部分被覆.

定理 2.19

$(0,1)$ はコンパクトでない.

証明．$\left\lbrace \left(\dfrac{1}{n},1\right)\right\rbrace _{n\in\mathbf{N}}$ は $(0,1)$ の開被覆であり, これは有限被覆を持たない.

コンパクト性は ``ある種の’’ 有限性を表している.

定理 2.20: 区間縮小法

有界な閉区間の単調減少列 $I_0 \supset I_1 \supset \cdots \supset I_n \supset I_{n+1} \supset \cdots$ は $\bigcap_{n \in \mathbf{N}}I_n \neq \varnothing$ を満たす. 特に $I_n = [a_n,b_n]$ として, $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(b_n-a_n)=0$ ならば, $\bigcap_{n \in \mathbb{N}}I_n = \lbrace \alpha\rbrace $ かつ $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n = \displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n = \alpha$ である.

これも Archimedes 性と同様, 実数の厳密な定義をしていないので証明はできない.

定理 2.21: Heine–Borelの定理

閉区間はコンパクト.

証明．

背理法で示す. 閉区間を$[a,b]$とおき,有限部分被覆をもたない開被覆$\mathcal{U}$が存在したとしよう. このとき $[a_0,b_0]$ を $[a,b]$, $[a_{n+1},b_{n+1}]$ を $\left[ \dfrac{a_n+b_n}{2},b_n \right]$ と $\left[a_n,\dfrac{a_n+b_n}{2}\right]$のうち有限被覆を持たない方と定めた縮小閉区間列をとる（どちらも有限被覆をもてばそれらを合併して有限被覆を得られるから$[a,b]$に帰着して$\mathcal{U}$の定義に矛盾し, どちらも持たなければ任意に一方を選んでよい）.

区間縮小法により$c=\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n$なる$c\in[a,b]$が存在し, $c$を被覆する開区間$(\alpha,\beta)$がとれる. ここで正数$\varepsilon=\min\lbrace c-\alpha,\beta-c\rbrace $をとれば$(c-\varepsilon,c+\varepsilon)\subset(\alpha,\beta)$である. ここで$a_n-b_n=\dfrac{a-b}{2^n}$に注意すれば$c\in[a_n,b_n]\subset\left[c-\dfrac{a-b}{2^n},c+\dfrac{a-b}{2^n}\right]$であるから, ある$N$を$\dfrac{a-b}{2^N}<\varepsilon$となるように取れば$[a_N,b_N]\subset(\alpha,\beta)$より有限被覆が存在し矛盾.

定義 2.22: 局所コンパクト

位相空間 $X$ が局所コンパクトであるとは, 任意の点 $x$ に対し, コンパクトな $x$ の近傍が存在することである.

ちなみに, Heine–Borelの定理はもっと一般化される. まず

$\mathbf{R}^n$ において, 部分集合が有界閉であることとコンパクトであることは同値.

というパターンがよく知られている. さらに一般的には

距離空間において, 部分集合が完備全有界¹であることとコンパクトであることは同値.

となる.

距離空間 $X$ が全有界とは, 任意の正数 $\varepsilon$ に対し, 有限個の $X$ 内の半径 $\varepsilon$ の開球を合併して $X$ が覆えること. ↩︎

定義 2.23: Hausdorff 空間

位相空間 $X$ が Hausdorff 空間であるとは, 任意の相異なる 2 点 $x,y\in X$ に対し, $x$ の近傍 $V$ と $y$ の近傍 $W$ で, $V \cap W = \varnothing$ を満たすものが存在することである.

命題 2.24

$X$ を Hausdorff 空間, $Y\subset X$ をコンパクト部分集合とすると, $Y$ は $X$ の閉集合である.

証明．$x\in Y^{\complement}$ を任意にとり, 固定する. 各 $y\in Y$ に対して $x$ を含む開集合 $U_y$ および $y$ を含む開集合 $V_y$ で, $U_y\cap V_y=\varnothing$ を満たすものをとる. このとき $\lbrace V_y\rbrace _ {y\in Y}$ は $Y$ の開被覆なので, 有限個の $y_1,\dots,y_n\in Y$ が存在して, $Y\subset V_{y_1}\cup\cdots\cup V_{y_n}$ が成り立つ. このとき $U=U_{y_1}\cap\cdots\cap U_{y_n}$ とおくと, $U$ は $x$ を含む開集合で, $Y$ と交わらない. これは $Y^{\complement}$ が $x$ の近傍であることを意味する. 以上で補集合 $Y^{\complement}$ が開集合であることが示された.

命題 2.25

Hausdorff 局所コンパクト空間 $X$ において, $F$ が $X$ の閉集合であることと, $X$ の任意のコンパクト集合 $K$ と $F$ の共通部分が $K$ の閉集合であることは同値である.

証明．

($\Rightarrow$) 命題 2.19 と閉集合の共通部分は閉集合であることより.
($\Leftarrow$) $F=\operatorname{Int}F$ を示す. 定義より $\subset$ が従うので, $\supset$ を示す. $x \in \operatorname{Int}F$ をとると, $X$ が Hausdorff 局所コンパクトであることから, $x$ のコンパクト近傍 $N$ が存在し, 仮定より $F \cap N$ は $N$ の閉集合である. ここで $F \cap N = \operatorname{Int}(F \cap N) = \operatorname{Int}(A) \cap N$ が成り立つ. $x \in \operatorname{Int}F \cap N$ なので $x \in F \cap N \subset F$ が成り立つので $x \in F$. よって $\operatorname{Int}A \subset A$ が示された.

定義 2.26: 閉写像

位相空間 $X$, $Y$ の間の連続写像 $f \colon X \to Y$ が閉写像であるとは, $X$ の閉集合の $f$ による像が常に $Y$ の閉集合となることである.

定義 2.27: 固有写像

$f\colon X \to Y$ が固有写像であるとは, $Y$ の任意のコンパクト部分集合 $K$ に対して $f^{-1}(K) \subset X$ が $X$ のコンパクト部分集合となることをいう.

補題 2.28

位相空間 $X$ のコンパクト部分集合 $K$ と閉部分集合 $F$ との共通部分はコンパクトである.

証明．$K \cap F$ の開被覆 $\mathcal{U}$ をとる. このとき $F$ は閉集合なので $X \setminus F$ は開集合で, $\mathcal{U} \cup \lbrace X \setminus F\rbrace $ は $K$ の開被覆. $K$ はコンパクトなのでこの開被覆の有限部分被覆 $\mathcal{V} \setminus \lbrace X \setminus F\rbrace $ は $\mathcal{U}$ の有限部分被覆である.

補題 2.29

$f\colon X \to Y$ が位相空間の間の固有写像な連続写像であり, $Y$ が Hausdorff 局所コンパクト空間であるならば, $f$ は閉写像である.

証明．$A \subset X$ を閉集合とし, $K$ を $Y$ のコンパクト部分集合とすると, 射影公式より $f(f^{-1}(K) \cap A) = K \cap f(A)$ となる. $f$ が固有なので $f^{-1}(K)$ はコンパクトで, $f^{-1}(K) \cap A$ は補題よりコンパクト集合となる. したがって $K \cap f(A)$ もコンパクトで, $Y$ の Hausdorff 性から閉集合でもある. $K$ は任意で $Y$ は Hausdorff 局所コンパクトなので $f(A)$ は閉.

定義 2.30: 連結

位相空間 $(X, \mathcal{O})$ が不連結であるとは, $\exists A, B \in \mathcal{O}$, $X = A \cup B$, $A \cap B = \varnothing$, $A, B \neq \varnothing$ となることである. 不連結でないときを連結という.

定理 2.31: 代数学の基本定理

定数でない複素係数多項式は少なくとも一つの複素数根をもつ.

証明．

$p(z) = a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_1z+a_0$ を定数でない複素係数 $n$ 次多項式とし, $C = \lbrace z \in \mathbf{C} \mid p ^ \prime(z) = 0\rbrace $ とする.

$C$ は命題 2.8 から高々 $n-1$ 個の元であり, $p^{-1}(p(C))$ も有限集合である.

$X = \mathbf{C} \setminus p^{-1}(p(C))$, $Y = \mathbf{C} \setminus p(C)$ とする.

$p(X) \subset Y$ は自明に成り立つ. 多項式写像 $p\colon \mathbf{C} \to \mathbf{C} ; z \mapsto p(z)$ は固有であり (多項式写像は当然連続であるので, $\left|z\right| \to \infty \Rightarrow \left|p(z)\right| \to \infty$ に注意すれば分かる), $\mathbf{C}$は Hausdorff 局所コンパクト空間であるから, 補題 2.29 より $p$ は閉写像である. よって, $p(\mathbf{C}) \subset \mathbf{C}$ は閉集合. そして, $p(X) = Y \cap p(\mathbf{C})$ であるから, $p(X) \subset Y$ も閉集合である.

次に, 任意に $y \in p(X)$ をとり, $y = p(x)$ なる $x \in X$ を一つとる. $C$ の定義より $x$ は正則点であるから, 逆写像定理により $x$ (resp. $y$) の開近傍 $U$ (resp. $V$) が存在して, $f|_U\colon U \to V$ は全単射となる. 特に $y$ は $p(X)$ において開近傍をもつことが分かり, $p(X) \subset Y$ は開集合であることが分かった.

さて, $Y$ は連結であるから ($\mathbf{C}$ から有限個の点を除いても連結である), $p(X) = Y$ が示された.

すなわち, $p$ は全射である.

この証明は次の文献で与えられたものである：Anindya Sen (2000) Fundamental Theorem of Algebra—Yet Another Proof, The American Mathematical Monthly, 107:9, 842-843, DOI: 10.1080/00029890.2000.12005281

ゼミ資料

松野陽一郎『なるほど！とわかる線形代数』第一回

位相空間論速習コース：素数の無限性や代数学の基本定理など

集合論

位相空間論

素数の無限性

代数学の基本定理

距離空間

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