問題
2022 年 9 月 17・18 日 時間無制限 12 題
(注意事項)
一問でも解けたら採点係のところまで持ってきてください. 採点は何度でも可能です.
6 からは証明問題です. 答を求める問題であっても必ず証明をつけてください.
小学生は 4 問, 中学生は 6 問, 高校生は 8 問, OB・大学生は 10 問で殿堂入りです.
1
次の虫食い算を解け.
□ □ □ □ □ × □ □ □ □ □ □ □ □ 2 1 □ □ 8 □ 0 5 □ □ □ 2 1 5 □ □ 2 □ □ □ □ □ □ □ □ □ 7 □ 8 □ 5 □ □ □ \def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{cccccccccc}
&&&&&\square&\square&\square&\square&\square\\
&&&\times&&\square&\square&\square&\square&\square\\ \hline
&&&&&\square&\square&\square&2&1\\
&&&\square&\square&8&\square&0&5&\\
&&&\square&\square&\square&2&1&&\\
&&5&\square&\square&2&\square&&&\\
\square&\square&\square&\square&\square&\square&&&&\\ \hline
\square&\square&7&\square&8&\square&5&\square&\square&\square
\end{array} □ □ □ □ 5 □ 7 × □ □ □ □ □ □ □ □ □ 8 □ □ □ 8 □ 2 □ □ □ □ □ □ 2 □ 5 □ □ □ 0 1 □ □ □ 2 5 □ □ □ 1 □
2
次の虫食い算を解け.
□ □ □ □ □ × □ 9 □ □ □ 2 □ 1 □ □ □ □ 0 □ 7 □ □ □ 2 2 □ □ □ □ □ □ 2 1 □ □ □ □ □ □ 8 □ □ 0 □ □ □ □ □ □ □ \def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{cccccccccc}
&&&&&\square&\square&\square&\square&\square\\
&&&\times&&\square&9&\square&\square&\square\\ \hline
&&&&2&\square&1&\square&\square&\square\\
&&&\square&0&\square&7&\square&\square&\\
&&\square&2&2&\square&\square&\square&&\\
&\square&\square&\square&2&1&\square&&&\\
\square&\square&\square&\square&\square&8&&&&\\ \hline
\square&\square&0&\square&\square&\square&\square&\square&\square&\square
\end{array} □ □ □ □ □ □ □ □ 0 × □ 2 □ □ □ 2 0 2 2 □ □ □ □ □ □ □ 1 8 □ □ 9 1 7 □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □
3
1 97 \dfrac{1}{97} 97 1 1 97 \dfrac{1}{97} 97 1
4
6 × 6 6\times6 6 × 6
(条件) 各々のエリアは少なくとも 1 マスあり、どちらのエリアにおいてもそのエリア内の任意のマスはそのエリア内のマスの縦横の移動で同じエリアのどのマスにも移動できる (各々のエリアは辺で連結)。また盤面を ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) ( 6 , 6 ) (6,6) ( 6 , 6 ) ( a , b ) (a,b) ( a , b ) ( a , c ) (a,c) ( a , c ) ( a , b + 1 ) … ( a , c − 1 ) (a,b+1)\dots(a,c-1) ( a , b + 1 ) … ( a , c − 1 ) ( a , b ) (a,b) ( a , b ) ( c , b ) (c,b) ( c , b ) ( a + 1 , b ) … ( c − 1 , b ) (a+1,b)\dots(c-1,b) ( a + 1 , b ) … ( c − 1 , b )
5
1 1 1 100 100 100 1 → 12 → 25 → 54 1\to 12\to 25\to 54 1 → 12 → 25 → 54
6
n f n ( m ) + m f m ( n ) = ( n + m + 1 ) 2 + 1 − 2 f ( n + m ) nf^n(m)+mf^m(n)=(n+m+1)^2+1-2f(n+m) n f n ( m ) + m f m ( n ) = ( n + m + 1 ) 2 + 1 − 2 f ( n + m ) f f f
7
a + b + c ≤ 3 4 3 a + b + c \leq \dfrac{3}{\sqrt[3]{4}} a + b + c ≤ 3 4 3 a , b , c a,b,c a , b , c 1 a 2 b 2 + c + 1 b 2 c 2 + a + 1 c 2 a 2 + b ≥ 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) a 3 + b 3 + c 3 + 3 a 2 b 2 c 2 \frac{1}{a^2b^2+c} + \frac{1}{b^2c^2+a} + \frac{1}{c^2a^2+b} \geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^3+b^3+c^3+3a^2b^2c^2} a 2 b 2 + c 1 + b 2 c 2 + a 1 + c 2 a 2 + b 1 ≥ a 3 + b 3 + c 3 + 3 a 2 b 2 c 2 3 ( a 2 + b 2 + c 2 )
8
円 Γ \Gamma Γ A B C D ABCD A BC D Γ \Gamma Γ O O O A B AB A B C D CD C D E E E A D AD A D B C BC BC F F F A C AC A C B D BD B D L L L M M M ∠ E O F < 90 ° \angle EOF<90\degree ∠ EOF < 90° O L M OLM O L M X X X Y Y Y O X Y OXY OX Y O E F OEF OEF X Y XY X Y
9
( p q + 1 ) p − 1 p q + 2 \dfrac{(pq+1)^p-1}{p^q+2} p q + 2 ( pq + 1 ) p − 1 p ≥ q p\geq q p ≥ q p p p q q q
10
三角形 A B C ABC A BC A B AB A B B B B A A A D D D A C AC A C C C C A A A E E E B D = C E = B C BD=CE=BC B D = CE = BC B C BC BC A A A F F F A B C ABC A BC I I I A D E ADE A D E A F I AFI A F I
11
N + 1 N+1 N + 1 { a n } \lbrace a_{n}\rbrace { a n } n = 0 , 1 … N n=0,1\dots N n = 0 , 1 … N a 0 = a N = 1 , a n = a n − 1 + a n + 1 a 1 ( 0 < n < N のとき) a_0=a_N=1,\quad a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{a_1}\ \text{(0 < n < N 0<n<N 0 < n < N a 0 = a N = 1 , a n = a 1 a n − 1 + a n + 1 (0 < n < N のとき ) N N N 2023 ( N + 2 ) < K a N 2 2023(N+2)<K a_{\frac{N}{2}} 2023 ( N + 2 ) < K a 2 N K K K
12
連続関数であり任意の実数 x x x y y y f ( f ( x ) 2 + x y ) + y f ( x + y ) = f ( f ( x ) + y ) 2 f(f(x)^2+xy)+yf(x+y)=f(f(x)+y)^2 f ( f ( x ) 2 + x y ) + y f ( x + y ) = f ( f ( x ) + y ) 2 f f f
解答
1
51621 × 71151 = 3672885771 51621\times71151=3672885771 51621 × 71151 = 3672885771
2
60357 × 49754 = 3003002178 60357\times49754=3003002178 60357 × 49754 = 3003002178
3
0 ≤ k ≤ 48 0\leq k\leq 48 0 ≤ k ≤ 48 k k k k k k k + 48 k+48 k + 48 9 9 9 2022 = 21 × 96 + 6 2022=21\times96+6 2022 = 21 × 96 + 6 ( 48 × 9 ) × 21 + 0 + 1 + 3 + 0 + 9 = 9085 (48\times9)\times21+0+1+3+0+9=\fbox{9085} ( 48 × 9 ) × 21 + 0 + 1 + 3 + 0 + 9 = 9085
4
エリアの境界線としてありうる通り数を求めればよくその値は 辺の縦横の移動で最短で右下から左上へ行く通り数 ( A ) + 右上から左下へ行く通り数 ( B ) − 4 (どちらかのエリアが 0 マスになる場合) − 10 ( A , B で共通している境界線の場合) = 2 × 12 C 6 − 4 − 10 = 1834 \text{辺の縦横の移動で最短で右下から左上へ行く通り数 ($A$)} + \text{右上から左下へ行く通り数 ($B$)} - 4 \text{ (どちらかのエリアが $0$ マスになる場合)} - 10 \text{ ($A$, $B$ で共通している境界線の場合)} = 2 \times {}_{12}\mathrm{C}_{6} - 4 - 10 = \fbox{1834} 辺の縦横の移動で最短で右下から左上へ行く通り数 ( A ) + 右上から左下へ行く通り数 ( B ) − 4 ( どちらかのエリアが 0 マスになる場合 ) − 10 ( A , B で共通している境界線の場合 ) = 2 × 12 C 6 − 4 − 10 = 1834
5
10 10 10 20 20 20 30 30 30 40 40 40 50 50 50 60 60 60 70 70 70 80 80 80 90 90 90 100 100 100 91 91 91 91 91 91 12 , 21 , 13 , 31 , 14 , 41 … , 19 , 91 12,21,13,31,14,41\dots,19,91 12 , 21 , 13 , 31 , 14 , 41 … , 19 , 91 2 2 2 23 , 32 , 24 , 42 … , 29 , 92 23,32,24,42\dots,29,92 23 , 32 , 24 , 42 … , 29 , 92 1 − 9 , 11 , 22 , 33 , … 99 1-9,11,22,33,\dots 99 1 − 9 , 11 , 22 , 33 , … 99 100 100 100 91 \boxed{91} 91 1 0 n 10^n 1 0 n 9 × 1 0 n − 1 + 1 9\times10^{n-1}+1 9 × 1 0 n − 1 + 1
6
P ( x , y ) P(x,y) P ( x , y ) n n n x x x m m m y y y P ( 1 , 1 ) P(1,1) P ( 1 , 1 ) ( f ( 1 ) , f ( 2 ) ) = ( 1 , 4 ) ( 2 , 3 ) ( 3 , 2 ) ( 4 , 1 ) (f(1),f(2))=(1,4)(2,3)(3,2)(4,1) ( f ( 1 ) , f ( 2 )) = ( 1 , 4 ) ( 2 , 3 ) ( 3 , 2 ) ( 4 , 1 ) ( 1 , 4 ) (1,4) ( 1 , 4 ) P ( 1 , 2 ) P(1,2) P ( 1 , 2 ) f ( 3 ) = 4.5 f(3)=4.5 f ( 3 ) = 4.5 ( 3 , 2 ) (3,2) ( 3 , 2 ) P ( 2 , 3 ) P(2,3) P ( 2 , 3 ) f ( 3 ) f(3) f ( 3 ) f ( 5 ) f(5) f ( 5 ) ( 4 , 1 ) (4,1) ( 4 , 1 ) f ( 3 ) = 3 f(3)=3 f ( 3 ) = 3 f ( 4 ) = 5 f(4)=5 f ( 4 ) = 5 P ( 1 , 3 ) P(1,3) P ( 1 , 3 ) ( f ( 1 ) , f ( 2 ) ) = ( 2 , 3 ) (f(1),f(2))=(2,3) ( f ( 1 ) , f ( 2 )) = ( 2 , 3 ) f ( 1 ) = 2 , … , f ( k ) = k + 1 f(1)=2,\dots,f(k)=k+1 f ( 1 ) = 2 , … , f ( k ) = k + 1 f ( k + 1 ) = k + 2 f(k+1)=k+2 f ( k + 1 ) = k + 2 k k k P ( k 2 , k 2 ) P\biggl(\dfrac{k}{2},\dfrac{k}{2}\biggr) P ( 2 k , 2 k ) k k k P ( k + 1 2 , k − 1 2 ) P\biggl(\dfrac{k+1}{2},\dfrac{k-1}{2}\biggr) P ( 2 k + 1 , 2 k − 1 ) f ( n ) = n + 1 f(n)=n+1 f ( n ) = n + 1 f ( n ) = n + 1 f(n)=n+1 f ( n ) = n + 1
7
∑ cyc f ( a , b , c ) = f ( a , b , c ) + f ( b , c , a ) + f ( c , a , b ) \sum_{\text{cyc}} f(a,b,c) = f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b) cyc ∑ f ( a , b , c ) = f ( a , b , c ) + f ( b , c , a ) + f ( c , a , b ) a 3 + b 3 + c 3 + 3 a 2 b 2 c 2 a^3+b^3+c^3+3a^2b^2c^2 a 3 + b 3 + c 3 + 3 a 2 b 2 c 2 ∑ cyc a 3 + b 3 − 2 c 3 a 2 b 2 + c ≥ 0 \displaystyle\sum_{\text{cyc}} \frac{a^3+b^3-2c^3}{a^2b^2+c} \geq 0 cyc ∑ a 2 b 2 + c a 3 + b 3 − 2 c 3 ≥ 0 ∑ cyc a 3 + b 3 − 2 c 3 a 2 b 2 + c = ∑ cyc ( a 3 − c 3 a 2 b 2 + c + b 3 − c 3 a 2 b 2 + c ) ≥ ∑ cyc ( a − b ) 2 ( a 2 + a b + b 2 ) − c 2 ( 3 4 3 − c ) + 1 ( c 2 a 2 + b ) ( b 2 c 2 + a ) ≥ 0 \begin{aligned}
\sum_{\text{cyc}}\frac{a^3+b^3-2c^3}{a^2b^2+c}
&=\sum_{\text{cyc}}\left(\frac{a^3-c^3}{a^2b^2+c}+\frac{b^3-c^3}{a^2b^2+c}\right) \\
&\geq\sum_{\text{cyc}}(a-b)^2(a^2+ab+b^2)\frac{-c^2\left(\dfrac{3}{\sqrt[3]{4}}-c\right)+1}{(c^2a^2+b)(b^2c^2+a)} \\
&\geq0
\end{aligned} cyc ∑ a 2 b 2 + c a 3 + b 3 − 2 c 3 = cyc ∑ ( a 2 b 2 + c a 3 − c 3 + a 2 b 2 + c b 3 − c 3 ) ≥ cyc ∑ ( a − b ) 2 ( a 2 + a b + b 2 ) ( c 2 a 2 + b ) ( b 2 c 2 + a ) − c 2 ( 3 4 3 − c ) + 1 ≥ 0 − c 2 ( 3 4 3 − c ) + 1 -c^2 \left (\dfrac{3}{\sqrt[3]{4}} - c \right ) + 1 − c 2 ( 3 4 3 − c ) + 1 0 ≤ c ≤ 3 4 3 0\leq c \leq \dfrac{3}{\sqrt[3]{4}} 0 ≤ c ≤ 3 4 3 0 0 0
8
ブロカードの定理より A C AC A C B D BD B D G G G E O F EOF EOF G G G ∠ E O F \angle EOF ∠ EOF G G G E O F EOF EOF O L M X Y G OLMXYG O L MX Y G O E Y OEY OE Y H H H X H ∥ Y G XH\parallel YG X H ∥ Y G Y H ∥ X G YH\parallel XG Y H ∥ XG H X G Y HXGY H XG Y H ′ H ^ \prime H ′ E O F EOF EOF E F EF EF P P P ∠ G H ′ P = 90 ° \angle GH ^ \prime P=90\degree ∠ G H ′ P = 90° ∠ G H ′ Y = 90 ° \angle GH ^ \prime Y=90\degree ∠ G H ′ Y = 90° X X X H ′ H ^ \prime H ′ Y Y Y P P P X Y XY X Y E F EF EF
9
p = 2 p=2 p = 2 p ≥ q p\geq q p ≥ q q = 2 q=2 q = 2 p ≥ 3 p\geq 3 p ≥ 3
補題 .
n n n を
2 2 2 以上の整数,
p p p を素数とすると
n p − 1 n − 1 \dfrac{n^p-1}{n-1} n − 1 n p − 1 の素因数は
p p p であるか
p p p で割って
1 1 1 余る.
したがって ( p q + 1 ) p − 1 p q \dfrac{(pq+1)^p-1}{pq} pq ( pq + 1 ) p − 1 p p p p p p 1 1 1 gcd ( p q + 2 , q ) = 1 \gcd(p^q+2, q) = 1 g cd( p q + 2 , q ) = 1 ( p q + 1 ) p − 1 q p q + 2 \dfrac{\frac{(pq+1)^p-1}{q}}{p^q+2} p q + 2 q ( pq + 1 ) p − 1 ( p , q ) (p,q) ( p , q ) p p p p p p 1 1 1 p q + 2 p^q+2 p q + 2 p p p 2 2 2 p p p 1 1 1 gcd ( p q + 2 , q ) = 1 \gcd(p^q+2, q) = 1 g cd( p q + 2 , q ) = 1 ( p q + 1 ) p − 1 p q + 2 \dfrac{(pq+1)^p-1}{p^q+2} p q + 2 ( pq + 1 ) p − 1 gcd ( p q + 2 , q ) ≠ 1 \gcd(p^q+2, q) \neq 1 g cd( p q + 2 , q ) = 1 p q + 2 ≡ p + 2 ≡ 0 ( m o d q ) p^q+2\equiv p+2 \equiv 0 \pmod{q} p q + 2 ≡ p + 2 ≡ 0 ( mod q ) p ≥ q p\geq q p ≥ q 2 2 2 k k k p = k q − 2 p=kq-2 p = k q − 2 p q + 2 q = ( k q − 2 ) q + 2 q ≡ 2 q ≢ 0 , 1 ( m o d k q − 2 ) \dfrac{p^q+2}{q}=\dfrac{(kq-2)^q+2}{q} \equiv \dfrac{2}{q} \not\equiv 0,1 \pmod{kq-2} q p q + 2 = q ( k q − 2 ) q + 2 ≡ q 2 ≡ 0 , 1 ( mod k q − 2 ) ( p q + 1 ) p − 1 p q + 2 \dfrac{(pq+1)^p-1}{p^q+2} p q + 2 ( pq + 1 ) p − 1 p ≥ 3 p\geq 3 p ≥ 3 ( p , q ) = ( 2 , 2 ) (p,q)=(2,2) ( p , q ) = ( 2 , 2 )
10
A A A ∠ A C B = 2 ∠ A C D \angle ACB=2\angle ACD ∠ A CB = 2∠ A C D D D D ∠ A C B \angle ACB ∠ A CB A B AB A B E E E ∠ A B C \angle ABC ∠ A BC A C AC A C F F F A B C ABC A BC I I I A A A A B C ABC A BC D E ⊥ F I DE\perp FI D E ⊥ F I
ここで, 三角形 A B C ABC A BC B B B C C C I B I_B I B I C I_C I C A A A B B B C C C I I B I C II_BI_C I I B I C I I I I B I_B I B I C I_C I C A B C ABC A BC I I B I C II_BI_C I I B I C I ′ I^\prime I ′ I B I ′ I C I_BI^\prime I_C I B I ′ I C F F F I I I I B I ′ I C I_BI^\prime I_C I B I ′ I C F I FI F I I B I ′ I C I_BI^\prime I_C I B I ′ I C I B I ′ I C I_BI^\prime I_C I B I ′ I C I B I ′ I_BI^\prime I B I ′ C A CA C A I C I ′ I_CI^\prime I C I ′ B A BA B A E E E D D D D E DE D E I B I ′ I C I_BI^\prime I_C I B I ′ I C F I ⊥ D E FI\perp DE F I ⊥ D E
11
与えられた式を変形して a 1 a n = a n − 1 + a n + 1 a_1a_n=a_{n-1}+a_{n+1} a 1 a n = a n − 1 + a n + 1 n = 1 n=1 n = 1 N − 1 N-1 N − 1 a 1 < 2 a_1<2 a 1 < 2 1 1 1 1 1 1 a 1 a_1 a 1 O O O a 1 a_1 a 1 A A A A 1 A_1 A 1 A 0 A_0 A 0 A 1 A_1 A 1 1 1 1 O O O A 0 A_0 A 0 A 2 A_2 A 2 A A 0 A 1 A 2 AA_0A_1A_2 A A 0 A 1 A 2 A A 2 = a 2 AA_2=a_2 A A 2 = a 2 A 3 … A N A_3\dots A_N A 3 … A N A A n = a n AA_n=a_n A A n = a n a N = 1 a_N=1 a N = 1 N + 1 N+1 N + 1 A A 0 A 1 … A N AA_0A_1\dots A_N A A 0 A 1 … A N 1 1 1 N + 2 N+2 N + 2 a N 2 a_{\frac{N}{2}} a 2 N O O O N + 2 a N 2 < π \dfrac{N+2}{a_{\frac{N}{2}}}<\pi a 2 N N + 2 < π N N N N + 2 N+2 N + 2 m m m [ 2023 π ] = 6356 [2023\pi]=6356 [ 2023 π ] = 6356
12
以下 P ( a , b ) P(a,b) P ( a , b ) x = a x=a x = a y = b y=b y = b f ( k ) = k f(k)=k f ( k ) = k k k k S S S S S S 0 ∈ S 0\in S 0 ∈ S P ( 0 , y ) P(0,y) P ( 0 , y ) f ( x ) = x または 0 f(x)=x\text{ または }0 f ( x ) = x または 0 f f f f ( x ) = x f(x)=x f ( x ) = x f ( x ) = 0 f(x)=0 f ( x ) = 0 0 0 0 a ∈ S a \in S a ∈ S P ( a , − a ) P(a,-a) P ( a , − a ) f ( 0 ) ≠ 0 f(0)\neq0 f ( 0 ) = 0 1 − a = f ( 0 ) 1-a=f(0) 1 − a = f ( 0 ) P ( a , 0 ) P(a,0) P ( a , 0 ) a 2 ∈ S a^2\in S a 2 ∈ S a ≠ 1 a\neq1 a = 1 1 − a 2 = f ( 0 ) 1-a^2=f(0) 1 − a 2 = f ( 0 ) 1 ∈ S 1\in S 1 ∈ S P ( 1 , y ) P(1,y) P ( 1 , y ) f ( x ) = x f(x)=x f ( x ) = x x ≠ 0 x\neq0 x = 0 0 0 0 x x x P ( x , − x ) P(x,-x) P ( x , − x ) f ( 0 ) − x f ( 0 ) = f ( 0 ) 2 f(0)-xf(0)=f(0)^2 f ( 0 ) − x f ( 0 ) = f ( 0 ) 2 x x x 0 0 0 f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 0 ∈ S 0\in S 0 ∈ S x x x f ( x ) > x f(x)>x f ( x ) > x x x x f ( x ) < x f(x)<x f ( x ) < x f ( t ) = 0 f(t)=0 f ( t ) = 0 t t t P ( t , 0 ) P(t,0) P ( t , 0 ) f ( 0 ) > 0 f(0)>0 f ( 0 ) > 0 f ( 0 ) = 1 f(0)=1 f ( 0 ) = 1 P ( 0 , 0 ) P(0,0) P ( 0 , 0 ) f ( 1 ) 2 = f ( 1 ) f(1)^2=f(1) f ( 1 ) 2 = f ( 1 ) f ( 1 ) > 1 f(1)>1 f ( 1 ) > 1 f ( x ) f(x) f ( x ) P ( x , f ( x ) 2 − x 1 − x ) P\biggl(x,\dfrac{f(x)^2-x}{1-x}\biggr) P ( x , 1 − x f ( x ) 2 − x ) f f f f ( x ) 2 + 1 − 2 x 1 − x \dfrac{f(x)^2+1-2x}{1-x} 1 − x f ( x ) 2 + 1 − 2 x x = 100 x=100 x = 100 f ( x ) > x f(x)>x f ( x ) > x f ( x ) < x f(x)<x f ( x ) < x f ( t ) = 0 f(t)=0 f ( t ) = 0 t t t P ( x , f ( x ) 2 − x 1 − x ) P\biggl(x,\dfrac{f(x)^2-x}{1-x}\biggr) P ( x , 1 − x f ( x ) 2 − x ) ( f ( t ) = 0 (f(t)=0 ( f ( t ) = 0 t t t f ( x ) < x f(x)<x f ( x ) < x f f f f ( x ) 2 + 1 − 2 x 1 − x \dfrac{f(x)^2+1-2x}{1-x} 1 − x f ( x ) 2 + 1 − 2 x x = − 100 x=-100 x = − 100 f ( x ) = x f(x)=x f ( x ) = x f ( x ) = 0 f(x)=0 f ( x ) = 0